Пока миллионы болельщиков приходили в себя после финала чемпионата мира по футболу, математическое сообщество всколыхнула новость совсем иного рода. Открытие, сделанное с помощью искусственного интеллекта, опровергло большинство версий знаменитой гипотезы Якобиана — с помощью контрпримера, достаточно простого, чтобы уместиться в пост в социальной сети. Левент Альпёге, математик, работающий в компании Anthropic, опубликовал на платформе X небрежное заявление о том, что обнаружил этот контрпример. Примечательно, что открытие было сделано с использованием большой языковой модели Claude Fable 5 от Anthropic, выпущенной для широкой публики всего несколько недель назад. Это открытие демонстрирует, что искусственный интеллект способен помогать математикам выявлять трудноуловимые закономерности и конструировать объекты, а не только выстраивать сложные доказательства.
Это событие — лишь последнее в череде ярких математических результатов, полученных исследователями с использованием языковых моделей. Однако эти результаты по ощущениям отличаются от тех, что были раньше.
Крохотная формула, найденная ИИ, опровергает столетнюю математическую гипотезу
Для начала стоит пояснить, что такое гипотеза в математике. Это утверждение, которое многие считают истинным, но которое до сих пор не удалось ни доказать, ни опровергнуть. Гипотеза Якобиана — одна из таких задач.
Гипотеза касается функций, которые можно представить как небольшие механизмы: на вход подаются одно или несколько чисел, на выходе получаются другие числа, согласно определенному правилу или уравнению. В данном случае речь идет о функциях, построенных из полиномов.
Особый интерес возникает, когда числа интерпретируются как координаты точек в пространстве. Такая функция перемещает точки, преобразуя координаты.
Чтобы проверить, насколько «хорошо» функция перемещает точки, используется так называемый определитель Якобиана. Если этот определитель всегда равен ненулевой константе, это означает, что функция не сжимает и не разворачивает пространство вокруг точек.
Гипотеза Якобиана утверждает, что если определитель Якобиана является ненулевой константой, то обязательно существует другая полиномиальная функция, которая обращает исходную, возвращая все точки на исходные места. Если же исходная функция объединяет две разные точки в одну, обратной функции не существует, так как после слияния невозможно восстановить исходные позиции.
История гипотезы и неудачи
Первая версия этой гипотезы для двумерного пространства была сформулирована математиком Людвигом Краусом в 1884 году. Позднее, в 1939 году, немецкий математик Отто-Генрих Келлер обобщил ее на любое количество измерений.
Задача оказалась настолько значимой, что медалист Филдса Стивен Смейл включил ее в свой список математических проблем 1998 года, предназначенный для следующего тысячелетия.
За долгие годы существования гипотезы неоднократно появлялись заявленные доказательства, в том числе от таких известных математиков XX века, как Беньямино Сегре и Вольфганг Грёбнер. Однако в каждом из этих доказательств были обнаружены ошибки, что делало их несостоятельными.
Тем не менее, был получен ряд частных результатов, подтверждающих гипотезу при определенных ограничениях. В частности, вычисления показали, что в двумерном случае гипотеза верна для полиномов степени до 100 включительно.
Общий случай до сих пор не доказан и не опровергнут.
Обманчиво простой ответ
Гипотеза Якобиана интригует математиков еще и тем, что контрпример, казалось бы, нетрудно сконструировать. Легко привести примеры функций, которые объединяют точки, а также найти полиномиальные преобразования с постоянным определителем Якобиана. Однако найти полиномиальное преобразование, которое одновременно обладало бы обоими свойствами, оказывается крайне сложной задачей.
пользователей Math Stack Exchange в 2017 году, «насколько нам известно, какой-нибудь умный студент может просто написать формулу […], которая будет противоположностью этой гипотезы».
Действительно, это действительно так и произошло с ограничением Альпейджи, которая достаточно коротка, чтобы уместиться в одном Х-сообщении. Он нашел пример трехмерной функции, которая имеет постоянный определитель Якобиана -2 и которая перемещает несколько входных точек в одну и ту же выходную точку, поэтому она необратима.
Он показывает, что гипотеза неверна для каждого измерения, превышающего 2, при этом исходная гипотеза для двух измерений остается открытой. Краткость контрпримера облегчила его проверку другими математиками.
Последнее достижение в растущей серии
Открытие Альпеге — последнее в череде громких математических прорывов, достигнутых с помощью больших языковых моделей. Недавние примеры включают проверку гипотез OpenAI о едином расстоянии и доказательство гипотезы Эрда; Задача 1196 Лиама Прайса, 23-летнего математика-любителя.
Оба примера иллюстрируют одну из самых ярких сильных сторон модели II. Они могут использовать идеи математики разных регионов, объединяя их по-новому, чтобы получить потрясающие результаты.
На момент написания статьи не были обнародованы подробности относительно того, как именно Альпёж побудил модель ИИ создать контрпример гипотезы Якобиана и как увидел его результат. Однако пока этот результат, по-видимому, имеет иную природу.
В отличие от многих других недавних достижений в области искусственного интеллекта, это совершенно противоположный пример успешного успеха. Трудность в его поиске, видимо, заключалась не в структурных конструкциях или длинном доказательстве, а, скорее, в поиске хорошего выхода навигации по огромному пространству поиска возможных полиномиальных преобразований, чтобы найти одно с указанным выше.
Это говорит о том, что ИИ может оказаться столь же ценным для открытия неожиданных математических объектов, как и для построения доказательств. Что это означает для будущей математики – и людей-математики – еще предстоит выяснить.
__GTAG8__